Question

【題目】已知橢圓： ，左焦點(diǎn)是.

（1）若左焦點(diǎn)與橢圓的短軸的兩個(gè)端點(diǎn)是正三角形的三個(gè)頂點(diǎn)，點(diǎn)在橢圓上.求橢圓的方程；

（2）過(guò)原點(diǎn)且斜率為的直線與（1）中的橢圓交于不同的兩點(diǎn)，設(shè)，求四邊形的面積取得最大值時(shí)直線的方程；

（3）過(guò)左焦點(diǎn)的直線交橢圓于兩點(diǎn)，直線交直線于點(diǎn)，其中是常數(shù)，設(shè)， ，計(jì)算的值（用的代數(shù)式表示）.

Answer 1

【答案】（1）（2）（3）

【解析】試題分析：(1)利用已知條件列方程組求出 的值,從而求出橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程; (2)設(shè)直線 的方程 ,聯(lián)立直線和橢圓方程,求出 ,分別求出點(diǎn) 到直線的距離,求出四邊形 的面積,利用基本不等式求出最大值得到 ,再求出直線 的方程; (3)設(shè)直線 的方程為 ,聯(lián)立直線和橢圓方程,求出兩根之和,兩根之積, 由向量共線求出 的表達(dá)式,代入化簡(jiǎn),求出 的值.

試題解析:（1） ， 所以橢圓方程

（2）設(shè)直線的方程

聯(lián)立，可以計(jì)算

，

所以直線的方程是

（3）設(shè)直線的方程交橢圓于

直線交直線于點(diǎn)，根據(jù)題設(shè)， 得到

， ，

得，

點(diǎn)睛: 本題主要考查了求橢圓的方程, 四邊形面積的計(jì)算, 以及求參數(shù)的值, 屬于中檔題. 本題涉及的考點(diǎn)有橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程，點(diǎn)到直線距離公式，基本不等式，向量共線定理等，考查學(xué)生的運(yùn)算求解能力以及分析問(wèn)題、解決問(wèn)題的能力.