Question

【題目】關(guān)于的函數(shù).

（Ⅰ）若為單調(diào)函數(shù)，試求實(shí)數(shù)的取值范圍；

（Ⅱ）討論的零點(diǎn)個(gè)數(shù).

Answer 1

【答案】（1）（2）見(jiàn)解析

【解析】試題分析：（1）分兩種情況， 時(shí)， 時(shí)，分別求導(dǎo)研究函數(shù)的單調(diào)性；（2）結(jié)合第一問(wèn)的單調(diào)性，和函數(shù)圖像，從三方面來(lái)考慮函數(shù)的變化趨勢(shì)或， ， 或時(shí)。

解析：

（Ⅰ）的定義域?yàn)?/span>，

①時(shí)， 恒成立，故為單調(diào)遞增函數(shù).

②時(shí)，令，

.

當(dāng)時(shí)， ，

當(dāng)時(shí)， .

∴在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減.

∴為的極大值點(diǎn)，也是上的最大值點(diǎn).

若，得

∴時(shí)， ，則，∴在上單調(diào)遞減.

綜上，若為單調(diào)函數(shù)，實(shí)數(shù)的取值范圍是.

若使用變量分離法，參照標(biāo)準(zhǔn)給分.

（Ⅱ）由題設(shè)知， ，

①由（Ⅰ）知， 或時(shí)， 單調(diào)，故只一個(gè)零點(diǎn).

②若得得，

則.

當(dāng)或時(shí)，即，

當(dāng)時(shí).即.

在和上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，

∴的極小值點(diǎn)，極大值點(diǎn).

又，

根據(jù)函數(shù)的增長(zhǎng)速度， 時(shí)， 時(shí)，

∴有兩個(gè)零點(diǎn)，一個(gè)在區(qū)間，另一個(gè)為.

③或時(shí)，有.

又在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，

且， 時(shí)，

故必存在不為1的， ，使得，

故時(shí)， ，則； 時(shí)， ，則.

∴在和上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增.

時(shí)， ，故，由及時(shí)， 時(shí)知， 有三個(gè)零點(diǎn).

時(shí)，

∵.

，即，

∴必有且， .

又時(shí)， 時(shí)，

故有三個(gè)零點(diǎn).

綜上， 或等時(shí)， 只一個(gè)零點(diǎn)； 時(shí)， 有兩個(gè)零點(diǎn)； 或時(shí)， 有三個(gè)零點(diǎn).