Question

【題目】設(shè)直線與直線分別與橢圓交于點(diǎn)，且四邊形的面積為.

（1）求橢圓的方程；

（2）過(guò)橢圓上一點(diǎn)作橢圓的切線，設(shè)直線與橢圓相較于，兩點(diǎn)，為坐標(biāo)原點(diǎn)，求的取值范圍.

Answer 1

【答案】（1）（2）

【解析】

聯(lián)立直線AB與橢圓的方程，解出x與y，由橢圓的對(duì)稱(chēng)性可知四邊形ACBD為矩形，進(jìn)而表示出矩形ACBD的面積為，從而得解；

分類(lèi)討論，當(dāng)直線l的斜率不存在，此時(shí)點(diǎn)P為橢圓的左或右頂點(diǎn)，易求得和，所以；

當(dāng)直線l的斜率存在，設(shè)其方程為，點(diǎn)P的坐標(biāo)為，M、N的坐標(biāo)分別為，，兩次聯(lián)立直線與橢圓，分別可得到關(guān)于x的一元二次方程，結(jié)合直線l與橢圓相切，可得及，結(jié)合弦長(zhǎng)公式，可得，然后作比，即可求得取值范圍．

由，解得，，

由橢圓的對(duì)稱(chēng)性可知，四邊形ACBD為矩形，且其面積，，

故橢圓的方程為．

當(dāng)直線l的斜率不存在時(shí)，點(diǎn)P為橢圓的左或右頂點(diǎn)，其坐標(biāo)為，

不妨取左頂點(diǎn)，即，此時(shí)，且直線l與x軸垂直，將代入得，，，

所以；

當(dāng)直線l的斜率存在時(shí)，設(shè)其方程為，點(diǎn)P的坐標(biāo)為，M、N的坐標(biāo)分別為，，

聯(lián)立，得，

直線l與橢圓相切，，

化簡(jiǎn)整理得，，

由韋達(dá)定理知，，

，

聯(lián)立，得，

由韋達(dá)定理知，，

，

，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，

綜上所述，的取值范圍為．