Question

13．已知：如圖，BC是半圓O的直徑，D，E是半圓O上兩點(diǎn)，$\widehat{ED}=\widehat{CE}$，CE的延長(zhǎng)線與BD的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)A．
（1）求證：AE=DE；
（2）若$AE=2\sqrt{5}，tan∠ABC=\frac{4}{3}$，求CD．

Answer 1

分析 （1）由圓周角定理及直角三角形的性質(zhì)可得到∠A=∠ADE，再根據(jù)等角對(duì)等邊即可求得結(jié)論．
（2）連接BE，根據(jù)等腰三角形，以及直角三角形，推出邊長(zhǎng)關(guān)系，利用射影定理求解即可．

解答 （1）證明：∵BC是半圓O直徑，
∴∠ADC=∠BDC=90°．
∵，$\widehat{ED}=\widehat{CE}$，
∴∠EDC=∠ECD．
∴∠A=∠ADE．
∴AE=DE．
（2）解：連接BE，
∵$\widehat{ED}=\widehat{CE}$，
∴DE=EC．
∴AE=EC=2 $\sqrt{5}$．
∵BC是半圓O直徑，
∴∠BEC=90°即BE⊥AC．
∴BA=BC．
∵Rt△BDC中，tan∠ABC=$\frac{4}{3}$，
設(shè)BD=3x，CD=4x，則BC=5x，
∴AB=BC=5x，AD=2x．
∵AE•AC=AD•AB，
∴2 $\sqrt{5}$×4 $\sqrt{5}$=2x•5x．
解得：x=2，即CD=8．

點(diǎn)評(píng) 本題考查圓周角定理，相似三角形的判定，直角三角形的性質(zhì)等知識(shí)點(diǎn)的綜合運(yùn)用．