Question

【題目】對于函數(shù)定義已知偶函數(shù)的定義域為當(dāng)且時，

（1）求并求出函數(shù)的解析式；

（2）若存在實數(shù)使得函數(shù)在上的值域為，求實數(shù)的取值范圍.

Answer 1

【答案】（1），， （2）

【解析】

（1）按的規(guī)律，逐步計算觀察發(fā)現(xiàn)對任意的，有 從而求出，由是偶函數(shù)可求得函數(shù)的解析式；

（2）由題意可知在上遞減且，分和兩種情況討論，在時得出推出矛盾，在時可將問題轉(zhuǎn)化為是方程的兩個不相等的負(fù)實數(shù)根，轉(zhuǎn)化為一元二次方程有兩個不相等的負(fù)根，由根與系數(shù)的關(guān)系列出不等式組求出的取值范圍

（1）因為

故

故對任意的，有

于是

故當(dāng)時，

又，故當(dāng)時，

由為偶函數(shù)，當(dāng)時，

因此，，即；

（2）由于的定義域為，

又可知與b同號，且，

函數(shù)的圖象，如圖所示

若，則在上單調(diào)遞增，有，

所以，解得，不符合題意，舍去；

若，則在上單調(diào)遞減，由題意，有

故是方程的兩個不相等的負(fù)實數(shù)根，即方程在上有

兩個不相等的實根，于是

綜合上述，實數(shù)的取值范圍為