Question

已知直線l：y＝x＋，圓O：x²＋y²＝5，橢圓E：＋＝1(a>b>0)的離心率e＝，直線l被圓O截得的弦長與橢圓的短軸長相等．

(1)求橢圓E的方程；

(2)過圓O上任意一點P作橢圓E的兩條切線，若切線都存在斜率，求證：兩切線斜率之積為定值．

 

Answer 1

解　(1)設(shè)橢圓半焦距為c，

圓心O到l的距離d＝＝，

所以b＝＝.

由題意得又b＝，∴a²＝3，b²＝2.

∴橢圓E的方程為＋＝1.

(2)證明：設(shè)點P(x₀，y₀)，過點P的橢圓E的切線l₀的方程為y－y₀＝k(x－x₀)，

聯(lián)立直線l₀與橢圓E的方程得

把y＝kx＋(y₀－kx₀)代入＋＝1，消去y得

(3＋2k²)x²＋4k(y₀－kx₀)x＋2(kx₀－y₀)²－6＝0，∵l₀與橢圓E相切．

∴Δ＝[4k(y₀－kx₀)]²－4(3＋2k²)[2(kx₀－y₀)²－6]＝0，整理得(2－x)k²＋2kx₀y₀－(y－3)＝0，

設(shè)滿足題意的橢圓E的兩條切線的斜率分別為k₁，k₂，則k₁·k₂＝－

∵點P在圓O上，∴x＋y＝5，

∴k₁·k₂＝－＝－1.

∴兩條切線斜率之積為常數(shù)－1.