Question

【題目】已知橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為，弦過(guò)點(diǎn)，的周長(zhǎng)為，橢圓的離心率為

（1）求橢圓的方程；

（2）若，求的面積.

Answer 1

【答案】（1）；（2）

【解析】

(1)由橢圓的定義以及△ABF2的周長(zhǎng)可以得出,再結(jié)合離心率即可求出和,即可得橢圓方程;

(2)由題意條件設(shè)出直線(xiàn)的方程和橢圓方程聯(lián)立消化簡(jiǎn)得出,利用向量數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算化簡(jiǎn),并聯(lián)立求出參數(shù),然后利用直線(xiàn)與橢圓的交點(diǎn)弦弦長(zhǎng)求點(diǎn)到直線(xiàn)距離,最后由S=即可得出答案.

(1)如圖由橢圓的定義及△ABF2的周長(zhǎng)為8,

可得,解得,

由離心率,解得,所以,

則所求的橢圓方程為.

(2)由題意設(shè)直線(xiàn)的方程，A(),B(),聯(lián)立,

消化簡(jiǎn)得:,

則:,由,

得:

和韋達(dá)定理聯(lián)立可解得,

由,得,

由點(diǎn)到直線(xiàn)距離,

所以△ABF2得面積為.