Question

【題目】已知橢圓C：的離心率為，橢圓C的四個(gè)頂點(diǎn)圍成的四邊形的面積為．

求橢圓C的方程；

直線l與橢圓C交于，兩個(gè)不同點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，若的面積為，證明：為定值．

Answer 1

【答案】（1）（2）見(jiàn)解析

【解析】

由離心率為，，，由，解得：，，即可求得橢圓C的方程；

直線l的斜率不存在時(shí)，P，Q兩點(diǎn)關(guān)于x軸對(duì)稱，，，由三角形面積公式即可求得和的值，可得的值，當(dāng)直線斜率存在，設(shè)出直線方程代入橢圓方程，利用及韋達(dá)定理求得和的關(guān)系，利用點(diǎn)到直線的距離公式和弦長(zhǎng)公式求得的面積，求得m和k的關(guān)系式，即可證明為定值.

解：橢圓C：的焦點(diǎn)在x軸上，離心率為，，

橢圓C的四個(gè)頂點(diǎn)圍成的四邊形的面積為，即，

由，解得：，，

橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為：；

證明：當(dāng)直線軸時(shí)，，的面積，

解得：，，

故．

當(dāng)直線l的斜率存在時(shí)，設(shè)直線l的方程為，，

聯(lián)立可得：，

，即，

由韋達(dá)定理可知，．

．

點(diǎn)O到直線l的距離為

則的面積．

整理得：，滿足，代入

綜上為定值.