Question

【題目】給出定義在上的兩個函數(shù),.

（1）若在處取最值．求的值；

（2）若函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減，求實數(shù)的取值范圍；

（3）試確定函數(shù)的零點個數(shù)，并說明理由．

Answer 1

【答案】（1） （2） （3）兩個零點．

【解析】

試題分析：（1） 開區(qū)間的最值在極值點取得，因此在處取極值，即 ，解得 ，需驗證（2） 在區(qū)間上單調(diào)遞減，轉化為在區(qū)間上恒成立，再利用變量分離轉化為對應函數(shù)最值：的最大值，根據(jù)分式函數(shù)求最值方法求得最大值2（3）先利用導數(shù)研究函數(shù)單調(diào)性：當時，遞減，當時，遞增；再考慮區(qū)間端點函數(shù)值的符號：，

， ，結合零點存在定理可得零點個數(shù)

試題解析：（1） 由已知，即: ,

解得： 經(jīng)檢驗 滿足題意

所以

（2）

要使得在區(qū)間上單調(diào)遞減，

則，即在區(qū)間上恒成立

因為，所以

設函數(shù)，則

因為，所以，所以

所以，所以

（3）函數(shù)有兩個零點．因為

所以

當時，，當時，

所以，

，

故由零點存在理可知：

函數(shù)在 存在一個零點，函數(shù)在 存在一個零點，

所以函數(shù)有兩個零點．