Question

【題目】已知點， ，點滿足，其中， ，且；圓的圓心在軸上，且與點的軌跡相切與點.

（1）求圓的方程；

（2）若點，點是圓上的任意一點，求的取值范圍；

（3）過點的兩條直線分別與圓交于、兩點，若直線、的斜率互為相反數(shù)，求證： .

Answer 1

【答案】（1）；（2）；（3）詳見解析.

【解析】試題分析：(1)先求出點C的軌跡方程, 依題意,設圓 ,由圓心在軸上,求出 的值,得到圓的方程; (2) 設 ,求出 ,轉(zhuǎn)化為求斜率為 的直線與圓有交點時,縱截距 的范圍, 當直線與圓相切時,求出范圍; (3)設 ,設直線AP方程為 ,則直線AQ方程為,聯(lián)立直線與圓方程,求出 的表達式,用 換成 ,求出直線PQ的斜率,與直線AD的斜率相等,所以 .

試題解析：

（1）依題意，可得，所以，所以，所以， ， 三點共線，所以點的軌跡是直線，直線的方程為，整理得.

依題意，可設圓的方程為，整理得，由圓的圓心在軸上，可得，解得.

所以圓的方程為.

（2）設，則， .

令，可化為，它表示斜率為-1的一族平行直線， 是直線在軸上的截距，觀察圖形，可知當直線與圓相切時， 取得最值， 也取得相應最值.

由，解得， ，所以的取值范圍是.

（3）證明：設， .

又設直線的斜率分別為，則直線的斜率為，直線的方程分別為.

由消去可得，則，用代換其中的可得.

所以 .

又因為，所以.

點睛: 本題主要考查了直線與圓位置關(guān)系, 屬于中檔題. 解題思路: 在(1)中,由向量關(guān)系式得出A,B,C三點共線,求出直線AB的方程,再根據(jù)圓D與直線相切,設圓 ,由圓心在軸上,求出 的值,得到圓的方程;在(2)中,注意轉(zhuǎn)化為直線 與圓有交點時,求 的范圍; 在(3)中,要證明 ,可以分別求出直線PQ,AD的斜率,看是否相等,得到證明.