Question

【題目】已知橢圓C：+=1（a＞b＞0）的離心率為，且過點（1，）．

（I）求橢圓C的方程；

（Ⅱ）設(shè)與圓O：x2+y2=相切的直線l交橢圓C與A，B兩點，求△OAB面積的最大值，及取得最大值時直線l的方程．

Answer 1

【答案】（I）（Ⅱ）△OAB面積的最大值為，此時直線方程

【解析】

試題分析：（1）運用橢圓的離心率公式和點滿足橢圓方程，解方程可得a，b，進而得到橢圓方程；（2）討論①當k不存在時，②當k存在時，設(shè)直線為y=kx+m，A，B，將直線y=kx+m代入橢圓方程，運用韋達定理和弦長公式，以及直線和圓相切的條件：d=r，結(jié)合基本不等式即可得到所求面積的最大值和直線l的方程

試題解析：（1）由題意可得，e==，a2﹣b2=c2，點（1，）代入橢圓方程，可得

+=1，解得a=，b=1，即有橢圓的方程為；

（2）①當k不存在時，x=±時，可得y=±，S△OAB=××=；

②當k存在時，設(shè)直線為y=kx+m，A（x1，y1），B（x2，y2），

將直線y=kx+m代入橢圓方程可得（1+3k2）x2+6kmx+3m2﹣3=0，

x1+x2=﹣，x1x2=，

由直線l與圓O：x2+y2=相切，可得=，即有4m2=3（1+k2），

|AB|==

==

=≤=2，

當且僅當9k2= 即k=±時等號成立，可得S△OAB=|AB|r≤×2×=，

即有△OAB面積的最大值為，此時直線方程y=±x±1．