Question

18．已知雙曲線和離心率為sin$\frac{π}{4}$的橢圓有相同的焦點(diǎn)F₁，F(xiàn)₂，若cos∠F₁PF₂=$\frac{1}{2}$，則雙曲線的離心率為$\frac{\sqrt{6}}{2}$．

Answer 1

分析 利用橢圓、雙曲線的定義，求出|PF₁|，|PF₂|，結(jié)合cos∠F₁PF₂=$\frac{1}{2}$，利用余弦定理，建立方程，即可求出雙曲線的離心率e．

解答 解：設(shè)橢圓的長半軸長為a₁，雙曲線的實(shí)半軸長為a₂，焦距為2c，
|PF₁|=m，|PF₂|=n，且不妨設(shè)m＞n，雙曲線的離心率為e，
由m+n=2a₁，m-n=2a₂得m=a₁+a₂，n=a₁-a₂．
又若cos∠F₁PF₂=$\frac{1}{2}$，∴4c²=m²+n²-mn=a₁²+3a₂²，
∴$\frac{{{a}_{1}}^{2}}{{c}^{2}}$+$\frac{3{{a}_{2}}^{2}}{{c}^{2}}$=4，即$\frac{1}{（\frac{\sqrt{2}}{2}）^{2}}$+$\frac{3}{{e}^{2}}$=4，
解得e=$\frac{\sqrt{6}}{2}$，
故答案為：$\frac{\sqrt{6}}{2}$

點(diǎn)評 本題考查橢圓、雙曲線的定義與性質(zhì)，考查余弦定理，考查學(xué)生分析解決問題的能力，屬于中檔題．