Question

10．圖2中的實(shí)線圍成的部分是長(zhǎng)方體（圖1）的平面展開(kāi)圖，其中四邊形ABCD是邊長(zhǎng)為1的正方形，若向虛線圍成的矩形內(nèi)任意拋擲一質(zhì)點(diǎn)，它落在長(zhǎng)方體的平面展開(kāi)圖內(nèi)的概率是$\frac{1}{4}$．
（1）從正方體ABCD的四條邊及兩條對(duì)角線共6條線段中任取2條線段（每條線段被取到的可能性相等），則其中一條線段長(zhǎng)度是另一條線段長(zhǎng)度的$\sqrt{2}$倍的概率是$\frac{8}{15}$．
（2）此長(zhǎng)方體的體積為3．

Answer 1

分析 （1）明確所有滿足條件的取法以及滿足其中一條線段長(zhǎng)度是另一條線段長(zhǎng)度的$\sqrt{2}$倍的取法，利用古典概型公式解答；
（2）根據(jù)向虛線圍成的矩形內(nèi)任意拋擲一質(zhì)點(diǎn)，它落在長(zhǎng)方體的平面展開(kāi)圖內(nèi)的概率是$\frac{1}{4}$，得到長(zhǎng)方體的表面積與展開(kāi)圖對(duì)應(yīng)的進(jìn)行面積比，利用幾何概型的公式可求長(zhǎng)方體的高．

解答 解：（1）從正方體ABCD的四條邊及兩條對(duì)角線共6條線段中任取2條線段（每條線段被取到的可能性相等），
共有${C}_{6}^{2}$=15種不同的取法，使其中一條線段長(zhǎng)度是另一條線段長(zhǎng)度的$\sqrt{2}$倍的取法有${C}_{2}^{1}{C}_{4}^{1}$=8，由幾何概型的個(gè)數(shù)得到滿足條件的概率為$\frac{8}{15}$；
（2）設(shè)長(zhǎng)方體的高為h，則長(zhǎng)方體的表面積為2+4h，而展開(kāi)圖的矩形面積為（2+2h）（1+2h），
由向虛線圍成的矩形內(nèi)任意拋擲一質(zhì)點(diǎn)，它落在長(zhǎng)方體的平面展開(kāi)圖內(nèi)的概率是$\frac{1}{4}$，得到$\frac{2+4h}{（2+2h）（1+2h）}=\frac{1}{4}$，解得h=3；
所以長(zhǎng)方體的體積為1×1×3=3；
故答案為：$\frac{8}{15}$； 3．

點(diǎn)評(píng) 不同考查了古典概型的概率求法以及幾何概型的應(yīng)用；屬于中檔題．