Question

已知函數f（X）的定義域為（0，+∞）且滿足2f（x）+f（

1

x

）=2lnx+

a(2x+1)

x+1

．
（1）若a=-8，判斷f（x）在定義域上的單調性；
（2）若f（x）在定義域上有兩個極值點x₁，x₂（x₁≠x₂），求證：f（x₁）+f（x₂）≥

f(x)+2

x

-2．

Answer 1

考點：函數單調性的判斷與證明,函數解析式的求解及常用方法

專題：函數的性質及應用,導數的綜合應用

分析：（1）通過換元令

1

x

=t求出另一個關于f（x），f(

1

x

)的等式，和原來的f（x），f(

1

x

)的等式聯(lián)立即可解出f（x）=2lnx+

ax

x+1

，所以將a=-8帶入即可得到f（x），求f′（x），并判斷f′（x）的符號，從而判斷出函數f（x）在其定義域上的單調性；
（2）x₁，x₂是f（x）定義域上的兩個極值點，所以這兩個極值點是f′（x）=0的兩個不等實數根，f′（x）=

2x2+(4+a)x+2

x(x+1)2

，所以x1+x2=-

4+a

2

，x1x2=1，這樣即可求出f（x₁）+f（x₂）=a，而a=

f(x)-2lnx

x

•(x+1)，所以原不等式便等價于

f(x)-2lnx

x

•(x+1)≥

f(x)-2(x-1)

x

，所以只要證明lnx≤x-1，令g（x）=lnx-x+1，通過求g′（x）可以得到x=1是g（x）的極大值點，且g（1）=0，所以g（x）≤0，所以這樣便證明了lnx≤x-1，從而原不等式成立．

解答： 解：令

1

x

=t，x=

1

t

，則：
2f(

1

t

)+f(t)=2ln

1

t

+

a( 2 t +1)

1 t +1

=-2lnt+

a(t+2)

t+1

；
∴f(x)+2f(

1

x

)=-2lnx+

a(x+2)

x+1

   ①；
又2f（x）+f(

1

x

)=2lnx+

a(2x+1)

x+1

   ②；
∴①②聯(lián)立得f（x）=2lnx+

ax

x+1

；
∴（1）a=-8時，f（x）=2lnx-

8x

x+1

，f′（x）=

2

x

-

8

(x+1)2

=

(x-1)2

x(x+1)2

＞0；
∴函數f（x）在定義域（0，+∞）上單調遞增；
（2）f′（x）=

2x2+(4+a)x+2

x(x+1)2

；
若f（x）在定義域上有兩個極值點x₁，x₂（x₁≠x₂），則方程2x²+（4+a）x+2=0有兩個不等實根，且：
x1+x2=-

4+a

2

，x1x2=1；
∴f(x1)+f(x2)=2lnx1+

ax1

x1+1

+2lnx2+

ax2

x2+1

=a；
∵a=

f(x)-2lnx

x

•(x+1)；
∴要證明原不等式成立，只要證明

f(x)-2lnx

x

•(x+1)≥

f(x)+2

x

-2=

f(x)-2(x-1)

x

；
也就是證明對任意的x＞0，lnx≤x-1；
令g（x）=lnx-x+1，g′（x）=

1

x

-1=

1-x

x

；
∴x∈（0，1）時，g′（x）＞0，x∈（1，+∞）時，g′（x）＜0；
∴g（1）=0是g（x）的最大值，∴g（x）≤0，即lnx-x+1≤0，lnx≤x-1；
∴f（x₁）+f(x2)≥

f(x)+2

x

-2．

點評：考查換元法求函數的解析式，根據函數導數符號判斷函數單調性的方法，以及函數極值的定義，以及極值點和f′（x）=0解的關系．