Question

如圖，、為橢圓的左、右焦點(diǎn)，、  是橢圓的兩個(gè)頂點(diǎn)，橢圓的離心率，．若在橢圓上，則點(diǎn)稱為點(diǎn)的一個(gè)“好點(diǎn)”．直線與橢圓交于、兩點(diǎn)， 、兩點(diǎn)的“好點(diǎn)”分別為、，已知以為直徑的圓經(jīng)過坐標(biāo)原點(diǎn)．

（Ⅰ）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；

（Ⅱ）的面積是否為定值？若為定值，試求出該定值；若不為定值，請說明理由．

Answer 1

解析：（Ⅰ）由題意得，故，．                

，     

故，即，所以，               

故橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為：．                                       

（Ⅱ）設(shè)、，則、．

①當(dāng)直線的斜率不存在時(shí)，即，，

由以為直徑的圓經(jīng)過坐標(biāo)原點(diǎn)可得，

即，解得，            

又點(diǎn)在橢圓上，所以，解得，

所以．                          

②當(dāng)直線的斜率存在時(shí)，設(shè)其方程為．

由，消得， 

由根與系數(shù)的關(guān)系可得，              

由以為直徑的圓經(jīng)過坐標(biāo)原點(diǎn)可得，即，

即．                                            

故

整理得，即．

所以．                                              

而

故                   

而點(diǎn)到直線的距離，

所以

．                  

綜合①②可知的面積為定值1．