Question

【題目】已知拋物線(xiàn)，過(guò)點(diǎn)的直線(xiàn)交拋物線(xiàn)于、兩點(diǎn)，設(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn).

（1）求的值；

（2）若，，的面積成等比數(shù)列，求直線(xiàn)的方程.

Answer 1

【答案】（1）（2）直線(xiàn)的方程為或

【解析】

（1）根據(jù)直線(xiàn)的傾斜角與角的關(guān)系，即可用直線(xiàn)的斜率以及兩角和與差的正切公式求出的值.

（2）將條件“的面積成等比數(shù)列”等價(jià)轉(zhuǎn)化為“成等比數(shù)列”，再將直線(xiàn)的方程代入拋物線(xiàn)方程，利用韋達(dá)定理得到的值，結(jié)合條件即可建立關(guān)于直線(xiàn)的斜率的方程，從而求出斜率，得到直線(xiàn)的方程.

解：（1）由題意直線(xiàn)，斜率均存在，且，.

∴ .

故.

（2）由（1）知點(diǎn)為拋物線(xiàn)的焦點(diǎn)

據(jù)題意，直線(xiàn)的斜率存在且不為0，故可設(shè)直線(xiàn)的方程為.

由 .

設(shè)、，則有，，

.

若，，的面積成等比數(shù)列，則，，成等比數(shù)列

∴，即：.

∴

∴ ，則.

解得，或，均滿(mǎn)足.

故直線(xiàn)的方程為或.