Question

2．已知向量$\overrightarrow{a}$=（cos（α+2π），1），$\overrightarrow$=（-2，cos（$\frac{π}{2}$-α）），α∈（π，$\frac{3}{2}$π），且$\overrightarrow{a}$⊥$\overrightarrow$．
（1）求sinα的值；
（2）求tan（2α+$\frac{π}{4}$）的值．

Answer 1

分析 （1）先根據(jù)$\overrightarrow{a}$⊥$\overrightarrow$等價于$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow$=0，得到角α正余弦之間的關(guān)系，再由同角三角函數(shù)的基本關(guān)系可求得sinα的值．
（2）先根據(jù)（1）中結(jié)果求出cosα的值，進(jìn)而可得tanα的值，再由兩角和與差的正切公式得到答案．

解答 解：（1）由向量$\overrightarrow{a}$=（cosα，1），$\overrightarrow$=（-2，sinα），α∈（π，$\frac{3π}{2}$），且$\overrightarrow{a}$⊥$\overrightarrow$．
得$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow$=（cosα，1）•（-2，sinα）=0．
即-2cosα+sinα=0．
所以cosα=$\frac{1}{2}$sinα．
因?yàn)閟in²α+cos²α=1，
所以sin2α=$\frac{4}{5}$．
因?yàn)棣痢剩é校?\frac{3π}{2}$），
所以sinα=-$\frac{2\sqrt{5}}{5}$．
（2）由（1）可得cosα=-$\frac{\sqrt{5}}{5}$．
則tanα=2，tan2α=$\frac{2tanα}{1-ta{n}^{2}α}$=-$\frac{4}{3}$，
tan（2α+$\frac{π}{4}$）=$\frac{tan2α+1}{1-tan2α}$=-$\frac{1}{7}$．

點(diǎn)評 本題主要考查向量的運(yùn)算、同角三角函數(shù)的基本關(guān)系和兩角和與差的正切公式．考查綜合運(yùn)用能力，屬于基本知識的考查．