Question

【題目】已知函數(shù)的定義域?yàn)?/span>，對任意實(shí)數(shù)，都有.

（1）若， ，且，求， 的值；

（2）若為常數(shù)，函數(shù)是奇函數(shù)，

①驗(yàn)證函數(shù)滿足題中的條件；

②若函數(shù)求函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù).

Answer 1

【答案】(1) 解得， ;(2) ①見解析；② 當(dāng)時(shí)，函數(shù)只有1零點(diǎn)；

當(dāng)或時(shí)，函數(shù)有3零點(diǎn)；當(dāng)是，函數(shù)有5零點(diǎn).

【解析】試題分析：（1）由題意，取，得，再取，得，

即函數(shù)在內(nèi)為奇函數(shù)，代入化簡即可求解的值.

（2）由函數(shù)是奇函數(shù)，得，得出的解析式，進(jìn)而求解.

再由，得，令，則，作出圖象，進(jìn)而分類討論，求得函數(shù)零點(diǎn)的個(gè)數(shù).

試題解析：

（1）對題中條件取，得.

再取，得，則，

即函數(shù)在內(nèi)為奇函數(shù).

所以，

又.

解得， .

（2）由函數(shù)是奇函數(shù)，得，則.

此時(shí)，滿足函數(shù)是奇函數(shù)，且有意義.

①由，得，則對任意實(shí)數(shù)，

有 ，

，

所以.

②由，得，令，則.

作出圖象

由圖可知，當(dāng)時(shí)，只有一個(gè)，對應(yīng)有3個(gè)零點(diǎn)；

當(dāng)時(shí)，只有一個(gè)，對應(yīng)只有一個(gè)零點(diǎn)；

當(dāng)時(shí)， ，此時(shí)， ， .

由

得在時(shí)， ，三個(gè)分別對應(yīng)一個(gè)零點(diǎn)，共3個(gè).

在時(shí)， ，三個(gè)分別對應(yīng)1個(gè)，1個(gè)，3個(gè)零點(diǎn)，共5個(gè).

綜上所述，當(dāng)時(shí)，函數(shù)只有1零點(diǎn)；

當(dāng)或時(shí)，函數(shù)有3零點(diǎn)；

當(dāng)是，函數(shù)有5零點(diǎn).