Question

【題目】如圖甲，已知矩形中， 為上一點(diǎn)，且，垂足為，現(xiàn)將矩形沿對(duì)角線折起，得到如圖乙所示的三棱錐.

（Ⅰ）在圖乙中，若，求的長(zhǎng)度；

（Ⅱ）當(dāng)二面角等于時(shí)，求二面角的余弦值.

Answer 1

【答案】（1）（2）余弦值為.

【解析】試題分析：（Ⅰ）當(dāng)時(shí)，由線面垂直的判定定理，可得平面，所以,由勾股定理求出BH的長(zhǎng)度；（Ⅱ）以為坐標(biāo)原點(diǎn)， 為軸， 為軸，垂直于平面的方向?yàn)?/span>軸建系，可得平面ADC的法向量為，由當(dāng)二面角等于，求出點(diǎn)B,C，H三點(diǎn)的坐標(biāo)，假設(shè)平面的法向量，由 ,求出 ，根據(jù)兩向量的夾角公式，求出二面角的余弦值.

試題解析：（Ⅰ）由，可得折疊后平面，

所以，又，所以平面，所以，

解得， ，由勾股定理，

.

（Ⅱ）如圖，以為坐標(biāo)原點(diǎn)， 為軸， 為軸，垂直于平面的方向?yàn)?/span>軸建系，

可得平面的法向量為，

即有，再由二面角等于，

可得點(diǎn)坐標(biāo)為，

所以，

設(shè)平面的法向量，

則 ，

所以，

由橫坐標(biāo)大于橫坐標(biāo)，

所以二面角為鈍角，所以余弦值為.