Question

2．如圖，多面體ABCD-A₁E中，底面ABCD為正方形，AA₁⊥平面ABCD，CE⊥平面ABCD，AA₁=2AB=4，且CE=λAA₁，A₁C⊥平面BED．
（1）求λ的值；
（2）求二面角A₁-BD-E的余弦值．

Answer 1

分析 （1）如圖所示，以DA、DC所在直線分別為x，y軸，過點D作AA₁的平行線為z軸，建立空間直角坐標系．AA₁⊥平面ABCD，CE⊥平面ABCD，可得AA₁∥CE∥z軸，又CE=λAA₁，可得$\overrightarrow{DE}$=$\overrightarrow{DC}$+$λ\overrightarrow{A{A}_{1}}$=（0，2，4λ）．由A₁C⊥平面BED，可得$\overrightarrow{{A}_{1}C}•\overrightarrow{DE}$=0，解得$λ=\frac{1}{4}$．
（2）由于A₁C⊥平面BED，可取$\overrightarrow{{A}_{1}C}$作為平面BED的法向量．設平面BDA₁的法向量為$\overrightarrow{n}$=（x，y，z），利用$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{DB}=0}\\{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{D{A}_{1}}=0}\end{array}\right.$，可得取$\overrightarrow{n}$．利用$cos＜\overrightarrow{n}，\overrightarrow{{A}_{1}C}＞$=$\frac{\overrightarrow{{A}_{1}C}•\overrightarrow{n}}{|\overrightarrow{{A}_{1}C}||\overrightarrow{n}|}$即可得出．

解答 解：（1）如圖所示，以DA、DC所在直線分別為x，y軸，過點D作AA₁的平行線為z軸，建立空間直角坐標系．
則D（0，0，0），B（2，2，0），C（0，2，0），A₁（2，0，4），A（2，0，0）．
$\overrightarrow{DB}$=（2，2，0），$\overrightarrow{{A}_{1}C}$=（-2，2，-4），
∵AA₁⊥平面ABCD，CE⊥平面ABCD，∴AA₁∥CE∥z軸，
又CE=λAA₁，∴$\overrightarrow{DE}$=$\overrightarrow{DC}$+$λ\overrightarrow{A{A}_{1}}$=（0，2，4λ）．
∵A₁C⊥平面BED，∴$\overrightarrow{{A}_{1}C}⊥\overrightarrow{DE}$，∴$\overrightarrow{{A}_{1}C}•\overrightarrow{DE}$=4-16λ=0，解得$λ=\frac{1}{4}$．
（2）∵A₁C⊥平面BED，∴可取$\overrightarrow{{A}_{1}C}$=（-2，2，-4）作為平面BED的法向量．
$\overrightarrow{D{A}_{1}}$=（2，0，4），
設平面BDA₁的法向量為$\overrightarrow{n}$=（x，y，z），
則$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{DB}=0}\\{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{D{A}_{1}}=0}\end{array}\right.$，即$\left\{\begin{array}{l}{2x+2y=0}\\{2x+4z=0}\end{array}\right.$，取$\overrightarrow{n}$=（2，-2，-1）．
∴$cos＜\overrightarrow{n}，\overrightarrow{{A}_{1}C}＞$=$\frac{\overrightarrow{{A}_{1}C}•\overrightarrow{n}}{|\overrightarrow{{A}_{1}C}||\overrightarrow{n}|}$=$\frac{-4}{\sqrt{24}•\sqrt{9}}$=-$\frac{\sqrt{6}}{9}$．
∴二面角A₁-BD-E（為鈍角）的余弦值為$-\frac{\sqrt{6}}{9}$．

點評 本題考查了線面垂直的判定與性質定理、向量與數(shù)量積的關系、利用法向量求空間角，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．