Question

【題目】已知點(diǎn)為雙曲線的左、右焦點(diǎn)，過(guò)作垂直于軸的直線，在軸的上方交雙曲線C于點(diǎn)M，且

(1)求雙曲線C的方程；

(2)過(guò)雙曲線C上任意一點(diǎn)P作該雙曲線兩條漸近線的垂線，垂足分別為求的值.

Answer 1

【答案】(1) ;(2)

【解析】

(1)在直角三角形中, 根據(jù)可以求出的長(zhǎng),利用雙曲線的定義得到等式,可以求出,也就能求出，最后寫出雙曲線的方程即可.

(2)確定雙曲線的漸近線方程,設(shè)出點(diǎn)P的坐標(biāo),根據(jù)點(diǎn)到直線距離可以求出的長(zhǎng),利用平面向量數(shù)量積的定義,兩條漸近線的夾角,最后求出的值.

(1) 在直角三角形中,因?yàn)?/span>所以有

,由雙曲線的定義可知：,,所以雙曲線C的方程是.

(2)設(shè)是雙曲線C上任意一點(diǎn),故有

兩條漸近線方程為：,設(shè)的傾斜角為，故,設(shè)兩條漸近線在第一、四象限夾角為,所以

,于是有.

因?yàn)?/span>P到雙曲線兩條漸近線的距離為：