Question

20．某新開業(yè)的冷飲店為了促銷舉辦買冷飲送套圈活動：每買1元的冷飲送兩次套圈的機會，套中即送成本價為a元（a＞0）的紀念杯一個．在一段時間內統(tǒng)計的消費金額和套中獎杯的個數之間的數據如下表且具有線性相關關系：

消費金額x元	2	4	6	8	12	15	16
獲得紀念杯個數y	1	1	2	3	4	5	5

（Ⅰ）預計消費者在消費30元時可獲得的紀念杯的個數；
（Ⅱ） 試利用函數的單調性，討論冷飲店的利潤預期與紀念杯的成本價a之間的關系．
參考公式：$\hat b=\frac{{\sum_{i=1}^n{{x_i}{y_i}-n\overline x\overline y}}}{{\sum_{i=1}^n{{x_i}^2-n{{\overline x}^2}}}}，\hat a=\overline y-\hat b\overline x$（其中$\overline x$，$\overline y$分別是x與y的平均數）
提示：x₁y₁+x₂y₂+…+x₇y₇=245，${x_1}^2+{x_2}^2+…+{x_7}^2=745$．

Answer 1

分析 （Ⅰ）求出線性回歸方程，令x=30，即可預計消費者在消費30元時可獲得的紀念杯的個數；
（Ⅱ）$z=x-a（\frac{28}{89}x+\frac{15}{89}）=（1-\frac{28}{89}a）x-\frac{15}{89}a$，討論冷飲店的利潤預期與紀念杯的成本價a之間的關系．

解答 解：（Ⅰ）由題知$\overline x=\frac{2+4+6+8+12+15+16}{7}=9$，$\overline y=\frac{1+1+2+3+5+5+4}{7}=3$
設線性回歸方程為$\hat y=\hat bx+\hat a$，則$\hat b=\frac{{\sum_{i=1}^n{{x_i}{y_i}-n\overline x\overline y}}}{{\sum_{i=1}^n{{x_i}^2-n{{\overline x}^2}}}}=\frac{28}{89}$
把點（9，3）代入線性回歸方程中可求$\hat a=\frac{15}{89}$
線性回歸方程為$\hat y=\frac{28}{89}x+\frac{15}{89}$，
令x=30，得$\hat y≈10$
故獲得的紀念杯的個數約為10個．…（6分）
（Ⅱ）設冷飲店的利潤為z元，
則$z=x-a（\frac{28}{89}x+\frac{15}{89}）=（1-\frac{28}{89}a）x-\frac{15}{89}a$
當$1-\frac{28}{89}a＞0$，即$0＜a＜\frac{89}{28}$時，利潤預期為遞增；
當$1-\frac{28}{89}a=0$，即$a=\frac{89}{28}$時，利潤預期為常數$-\frac{15}{28}$，冷飲店虧損；
當$1-\frac{28}{89}a＜0$，即$a＞\frac{89}{28}$時，利潤預期為遞減；…（12分）

點評 本題考查線性回歸方程及函數的簡單應用，精確的計算是解決本題的關鍵．