Question

已知拋物線，點，過的直線交拋物線于兩點.

（1）若線段中點的橫坐標(biāo)等于，求直線的斜率；

（2）設(shè)點關(guān)于軸的對稱點為，求證：直線過定點.

 

Answer 1

（1）;（2）

【解析】

試題分析：（1）因為點M在拋物線外面，所以過M與拋物線相交的直線斜率存在，用點斜式假設(shè)直線方程并聯(lián)立拋物線方程，消去y，即可得一個關(guān)于x的一元二次方程，由韋達定理及已知中點的橫坐標(biāo)，即可求出斜率的值.

（2）由點A,B的橫坐標(biāo)滿足（1）式中的一元二次方程，由韋達定理可得根與系數(shù)的等式，再寫出直線的方程，利用點差法將點A,B的坐標(biāo)帶入拋物線方程.即可求出直線過定點，要做點是否存在的判定.

試題解析：（1）設(shè)過點的直線方程為，

由 得

因為 ，且，

所以，.

設(shè)，，則，.

因為線段中點的橫坐標(biāo)等于，所以，

解得，符合題意.

（2）依題意，直線，

又 ，，

所以

因為 ， 且同號，所以，

所以 ，

所以，直線恒過定點.

考點：1.直線與拋物線的位置關(guān)系.2.解方程的能力.3.恒過定點的問題.4.直線方程的表示.