Question

【題目】如圖，在四棱柱中，，，，且，.

（1）求證：；

（2）若四棱柱的體積為，求直線與平面所成角的正弦值.

Answer 1

【答案】（1）證明見解析（2）

【解析】

（1）連接，通過證明，證得平面，由此證得.

（2）先證得平面，由此判斷出是直線與平面所成角，通過四棱柱的體積求得四棱柱的高，解三角形求得.

（1）連接，在四棱柱中，四邊形為平行四邊形，

∵，∴四邊形為菱形，∴，

又∵，

而和都包含于平面，且，

所以平面，所以.

（2）∵，，，

∴平面，所以是直線與平面所成角.

因?yàn)?/span>，，且，，可知四邊形為直角梯形，且為直角腰，取邊中點(diǎn)，則四邊形為矩形，可求得，得梯形的面積為，又因?yàn)樗睦庵?/span>的體積為，得四棱柱的高為，

因?yàn)?/span>平面，得平面平面，在菱形內(nèi)作邊上的高，垂足為，則平面，

即.故菱形內(nèi)，則為等邊三角形，，

求得.（或證明點(diǎn)與點(diǎn)重合，求得和，求得）

所以.