Question

2．已知直線l：y=mx+m（|m|＜1．m≠0），拋物線C：y²=4x
（1）求證：l與拋物線C必相交于兩點(diǎn)
（2）求截得的弦AB的長
（3）當(dāng)m為何值時，弦AB的中點(diǎn)在直線x-y-3=0上．

Answer 1

分析 （1）直線l：y=mx+m（|m|＜1．m≠0），拋物線C：y²=4x聯(lián)立，證明△＞0，即可證明l與拋物線C必相交于兩點(diǎn)
（2）利用韋達(dá)定理及弦長公式，即可求截得的弦AB的長
（3）求出弦AB的中點(diǎn)，代入直線x-y-3=0，即可得出結(jié)論．

解答 （1）證明：直線l：y=mx+m（|m|＜1．m≠0），拋物線C：y²=4x聯(lián)立可得m²x²+（2m²-4）+m²=0
∴△=（2m²-4）²-4m⁴=16（1-m²）＞0，
∴l(xiāng)與拋物線C必相交于兩點(diǎn)
（2）解：設(shè)A（x₁，y₁）、B（x₂，y₂），則x₁+x₂=-2+$\frac{4}{{m}^{2}}$，x₁x₂=1
∴截得的弦AB的長=$\sqrt{1+{m}^{2}}$•$\sqrt{（-1+\frac{4}{{m}^{2}}）^{2}-4}$=$\frac{\sqrt{（1+{m}^{2}）（16-8{m}^{2}-3{m}^{4}）}}{{m}^{2}}$
（3）解：弦AB的中點(diǎn)（-1+$\frac{2}{{m}^{2}}$，$\frac{2}{m}$），
∵弦AB的中點(diǎn)在直線x-y-3=0上，
∴-1+$\frac{2}{{m}^{2}}$-$\frac{2}{m}$-3=0，
∴m=1或-$\frac{1}{2}$，
即m=1或-$\frac{1}{2}$時，弦AB的中點(diǎn)在直線x-y-3=0上．

點(diǎn)評 本題考查直線與拋物線的位置關(guān)系，考查弦長的計(jì)算，考查學(xué)生分析解決問題的能力，屬于中檔題．