Question

【題目】已知函數(shù).

（1）當(dāng)時(shí)，求在區(qū)間的最大值；

（2）若函數(shù)有兩個(gè)極值點(diǎn)，求證：.

Answer 1

【答案】（1）當(dāng)時(shí)，的最大值為；當(dāng)時(shí)，的最大值為；（2）證明見(jiàn)解析；

【解析】

（1）求導(dǎo)，對(duì)參數(shù)進(jìn)行分類(lèi)討論，由函數(shù)單調(diào)性即可容易求得最值；

（2）根據(jù)極值點(diǎn)的定義，求得之間的關(guān)系以及參數(shù)的范圍，構(gòu)造函數(shù)，將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為求該函數(shù)的最值問(wèn)題，再進(jìn)行適當(dāng)放縮即可證明.

（1）由已知得的定義域?yàn)?/span>，

，

當(dāng)時(shí)，，在上單調(diào)遞增，的最大值為.

當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減，

的最大值為.

綜上，當(dāng)時(shí)，的最大值為，

當(dāng)時(shí)，的最大值為.

（2），則的定義域?yàn)?/span>，

.

若有兩個(gè)極值點(diǎn)，則方程的判別式

且，因而，

又，∴，即，

設(shè)，其中，

由 得，由于，

∴在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，

即的最大值為，

從而成立.