Question

【題目】在平面直角坐標(biāo)系中，已知定點(diǎn)，點(diǎn)在軸上運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)在軸上運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)為坐標(biāo)平面內(nèi)的動(dòng)點(diǎn)，且滿足，.

（1）求動(dòng)點(diǎn)的軌跡的方程；

（2）過(guò)曲線第一象限上一點(diǎn)（其中）作切線交直線于點(diǎn)，連結(jié)并延長(zhǎng)交直線于點(diǎn)，求當(dāng)面積取最小值時(shí)切點(diǎn)的橫坐標(biāo).

Answer 1

【答案】（1）；（2）

【解析】

（1）設(shè)點(diǎn)，，，由已知條件推導(dǎo)出點(diǎn)，，由此能求出動(dòng)點(diǎn)的軌跡的方程；

（2）分別求出切線 與 的方程，求得， 的縱坐標(biāo)，寫(xiě)出三角形的面積，利用導(dǎo)數(shù)求解當(dāng)△面積取最小值時(shí)切點(diǎn)的橫坐標(biāo)．

解：（1）設(shè)，，.因?yàn)?/span>，，

所以，，，所以.

（2）

或

或

因?yàn)?/span>為曲線上第一象限的點(diǎn)，則

過(guò)（其中）作曲線的切線，則切線的斜率

所以切線：，將代入得，

直線：，將代入得，，

因?yàn)?/span>在拋物線上且在第一象限，所以，所以，

設(shè)，，

，

，

.