Question

【題目】已知數(shù)列滿(mǎn)足， ，其中.

（1）設(shè)，求證：數(shù)列是等差數(shù)列，并求出的通項(xiàng)公式；

（2）設(shè)，數(shù)列的前項(xiàng)和為，是否存在正整數(shù)，使得對(duì)于恒成立，若存在，求出的最小值，若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.

Answer 1

【答案】(1) ;(2) 的最小值為3.

【解析】試題分析：（1）利用遞推公式即可得出為一個(gè)常數(shù)，從而證明數(shù)列是等差數(shù)，再利用等差數(shù)列的通項(xiàng)公式即可得到，進(jìn)而得到；（2）利用（1）的結(jié)論，利用“裂項(xiàng)求和”即可得到，要使得對(duì)于恒成立，只要，即，解出即可.

試題解析：（1）證明： ，

所以數(shù)列是等差數(shù)列，

，因此，

由.

（2）由，

所以，

所以，

因?yàn)?/span>，所以恒成立，

依題意要使對(duì)于，恒成立，只需，且 解得， 的最小值為.

【方法點(diǎn)晴】裂項(xiàng)相消法是最難把握的求和方法之一，其原因是有時(shí)很難找到裂項(xiàng)的方向，突破這一難點(diǎn)的方法是根據(jù)式子的結(jié)構(gòu)特點(diǎn)，掌握一些常見(jiàn)的裂項(xiàng)技巧：①；②

；③；

④ ；此外，需注意裂項(xiàng)之后相消的過(guò)程中容易出現(xiàn)丟項(xiàng)或多項(xiàng)的問(wèn)題，導(dǎo)致計(jì)算結(jié)果錯(cuò)誤.