Question

【題目】已知函數(shù)，且．

（1）若函數(shù)在區(qū)間上是減函數(shù)，求實(shí)數(shù)的取值范圍；

（2）設(shè)函數(shù)，當(dāng)時(shí)，恒成立，求的取值范圍．

Answer 1

【答案】（1）；（2）.

【解析】

試題分析：（1）因?yàn)楹瘮?shù)在區(qū)間上是減函數(shù)，則恒成立，轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)恒成立問題，得解；（2）令，恒成立等價(jià)于恒成立，利用導(dǎo)數(shù)討論的單調(diào)性求最值.

試題解析：（1）因?yàn)楹瘮?shù)在區(qū)間上是減函數(shù)，則，

即在上恒成立

當(dāng)時(shí)，令得，

①若，則，解得；②若，則，解得．

綜上，實(shí)數(shù)的取值范圍是．

（2）令，則，

根據(jù)題意，當(dāng)時(shí)，恒成立．

所以．

①當(dāng)時(shí)，時(shí)，恒成立，

所以在上是增函數(shù)，且，所以不符合題意

②當(dāng)時(shí)，時(shí)，恒成立．

所以在上是增函數(shù)，且，所以不符題意．

③當(dāng)時(shí)，時(shí)，恒有，故在上是減函數(shù)，

于是“對任意都成立”的充要條件是，

即，解得，故

綜上，的取值范圍是．