Question

【題目】已知函數(shù)（）.

（I）若，求曲線在點(diǎn)處的切線方程；

（II）若在上無極值點(diǎn)，求的值；

（III）當(dāng)時(shí)，討論函數(shù)的零點(diǎn)個數(shù)，并說明理由.

Answer 1

【答案】（1）； （2）時(shí)函數(shù)在上無零點(diǎn)；當(dāng)時(shí)，函數(shù)在上有一個零點(diǎn)；當(dāng)時(shí)，函數(shù)在上有兩個零點(diǎn).

【解析】

（I）由導(dǎo)數(shù)的幾何意義,切線的斜率,先求，，,利用直線方程的點(diǎn)斜式求解. （II）因?yàn)?/span>,所以若在上無極值點(diǎn),則，即，，解得.

(III)討論當(dāng)時(shí),在上的符號, 函數(shù)的單調(diào)性、極值情況,從而分析

函數(shù)的圖像與x軸的交點(diǎn)個數(shù),得出函數(shù)的零點(diǎn)個數(shù).

（I）當(dāng)時(shí)，，

，，，

所以曲線在點(diǎn)處的切線方程為.

（II），，依題意有，即，

，解得.

(III)（1）時(shí)，函數(shù)在上恒為增函數(shù)且，函數(shù)在上無零點(diǎn).

（2）時(shí)：

當(dāng)，，函數(shù)為增函數(shù)；

當(dāng)，，函數(shù)為減函數(shù)；

當(dāng)，，函數(shù)為增函數(shù).

由于，此時(shí)只需判定的符號：

當(dāng)時(shí)，函數(shù)在上無零點(diǎn)；

當(dāng)時(shí)，函數(shù)在上有一個零點(diǎn)；

當(dāng)時(shí)，函數(shù)在上有兩個零點(diǎn).

綜上，時(shí)函數(shù)在上無零點(diǎn)；

當(dāng)時(shí)，函數(shù)在上有一個零點(diǎn)；

當(dāng)時(shí)，函數(shù)在上有兩個零點(diǎn).