Question

【題目】已知橢圓的離心率為，以該橢圓上的點(diǎn)和橢圓的左、右焦點(diǎn),為頂點(diǎn)的三角形的周長為.

(1)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；

(2)設(shè)該橢圓與軸的交點(diǎn)為, (點(diǎn)位于點(diǎn)的上方),直線與橢圓相交于不同的兩點(diǎn) ,求證:直線與直線的交點(diǎn)在定直線上.

Answer 1

【答案】(1) (2)見解析

【解析】試題分析：（1）由橢圓上的點(diǎn)和橢圓的左、右焦點(diǎn),為頂點(diǎn)的三角形的周長為及離心率為，即可求出， ， 的值，從而可得橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）設(shè), ,聯(lián)立直線與橢圓的方程，消去，結(jié)合韋達(dá)定理，可得及的值，分別表示出直線與直線的方程，聯(lián)立方程，即可得直線與直線的交點(diǎn)在定直線上.

試題解析：(1)由題意知,

又∵

∴，

∴橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為

(2)設(shè), ,則由聯(lián)立方程組，

化簡得,由

解得，由韋達(dá)定理,得，

直線的方程 ①

直線的方程 ②

聯(lián)立①②，得 ，即

∴直線與直線的交點(diǎn)在定直線上