Question

【題目】給定橢圓，稱圓為橢圓的“伴隨圓”.已知點(diǎn)是橢圓上的點(diǎn)

（1）若過點(diǎn)的直線與橢圓有且只有一個公共點(diǎn)，求被橢圓的伴隨圓所截得的弦長：

（2）是橢圓上的兩點(diǎn)，設(shè)是直線的斜率，且滿足，試問：直線是否過定點(diǎn)，如果過定點(diǎn)，求出定點(diǎn)坐標(biāo)，如果不過定點(diǎn)，試說明理由。

Answer 1

【答案】(1) (2)過原點(diǎn)

【解析】試題分析：（1）分析直線的斜率是否存在，若不存在不符合題意，當(dāng)存在時設(shè)直線，根據(jù)直線與圓的關(guān)系中弦心距，半徑，半弦長構(gòu)成的直角三角形求解即可；（2）設(shè)直線的方程分別為，設(shè)點(diǎn)，聯(lián)立得得同理，計算，同理因?yàn)?/span>，可得，從而可證.

試題解析：

（1）因?yàn)辄c(diǎn)是橢圓上的點(diǎn).

即橢圓

伴隨圓得同理，計算

當(dāng)直線的斜率不存在時：顯然不滿足與橢圓有且只有一個公共點(diǎn)

當(dāng)直接的斜率存在時：設(shè)直線與橢圓聯(lián)立得

由直線與橢圓有且只有一個公共點(diǎn)得

解得，由對稱性取直線即

圓心到直線的距離為

直線被橢圓的伴隨圓所截得的弦長

（2）設(shè)直線的方程分別為

設(shè)點(diǎn)

聯(lián)立得

則得同理

斜率

同理因?yàn)?/span>

所以 三點(diǎn)共線