Question

20．從極點O作一直線與直線l：ρcosθ=4交于點M，在OM上取一點P，使PO•OM=8．
（1）以O為坐標原點，極軸為x軸的正半軸，求P點軌跡的直角坐標方程；
（2）設N為l上的任意一點，試求PN的最小值．

Answer 1

分析 （1）設動點P的坐標為（ρ，θ），M的坐標為（ρ₀，θ），則ρρ₀=12，由ρ₀cosθ=4，得到ρ=3cosθ再化為直角坐標方程；
（2）先求出點軌跡的圓心坐標和半徑，直線l的直角坐標方程，由點到直線的距離公式求出圓心到直線l的距離，判斷出直線與圓的位置關系，即可求出PN的最小值．

解答 解：（1）設動點P的坐標為（ρ，θ），M的坐標為（ρ₀，θ），
∵PO•OM=8，∴ρρ₀=8，
∵ρ₀cosθ=4，∴ρ=2cosθ即為所求的軌跡方程，
∴P點軌跡的直角坐標方程是x²+y²-2x=0；
（2）由（1）知，P點軌跡是以（1，0）為圓心，以1為半徑的圓，
∵直線ρcosθ=4在平面直角坐標系中對應的方程為x=4，
∴圓心（1，0）到直線x=4的距離d=4-1=3＞1，
∴直線l與圓相離，則PN的最小值是3-1=2．

點評 本題考查動點的軌跡方程的求法，極坐標與直角坐標方程的轉化，點到直線的距離公式，考查轉化思想的應用，是中檔題．