Question

【題目】已知圓上一動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)作軸，垂足為點(diǎn)，中點(diǎn)為．

（1）當(dāng)在圓上運(yùn)動(dòng)時(shí)，求點(diǎn)的軌跡的方程；

（Ⅱ）過點(diǎn)的直線與交于兩點(diǎn)，當(dāng)時(shí)，求線段的垂直平分線方程．

Answer 1

【答案】(1)；(2)或．

【解析】分析：（1）要求點(diǎn)的軌跡的方程，可設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)為，由條件過點(diǎn)作軸，垂足為點(diǎn)，中點(diǎn)為，可寫出點(diǎn)A的坐標(biāo)。因?yàn)辄c(diǎn)在圓上，故可將點(diǎn)的坐標(biāo)代入圓的方程，可得點(diǎn)的軌跡。

(2)要線段的垂直平分線方程，應(yīng)先求直線的方程，所以應(yīng)設(shè)直線的方程，根據(jù)弦長(zhǎng)求直線的方程。因?yàn)橹本�的斜率是否存在不確定，為了避免討論，可設(shè)直線方程為：，并與軌跡的方程聯(lián)立可得，由根與系數(shù)的關(guān)系可得，由弦長(zhǎng)公式可得，可解得。分情況討論，求線段的中點(diǎn)，直線的斜率，進(jìn)而可求線段的垂直平分線方程。

詳解：（1）設(shè)，則

將代入圓方程得：點(diǎn)的軌跡

（注：學(xué)生不寫也不扣分）

（2）由題意可設(shè)直線方程為：，

由得：

所以

所以．

當(dāng)時(shí)，中點(diǎn)縱坐標(biāo)，代入得：

中點(diǎn)橫坐標(biāo)，斜率為

故的垂直平分線方程為：

當(dāng)時(shí)，同理可得的垂直平分線方程為：

所以的垂直平分線方程為：或．