Question

19．已知a，b∈R，a²-2ab+5b²=4，則a+b的取值范圍為$[{-2\sqrt{2}，2\sqrt{2}}]$．

Answer 1

分析 設(shè)a+b=t，得b=t-a，代入a²-2ab+5b²=4后化為關(guān)于a的一元二次方程，由a有實根得判別式大于等于0，轉(zhuǎn)化為關(guān)于t的不等式得答案．

解答 解：設(shè)a+b=t，則b=t-a，
代入a²-2ab+5b²=4，得a²-2a（t-a）+5（t-a）²-4=0，
整理得：8a²-12at+5t²-4=0．
由△=（-12t）²-32（5t²-4）≥0，得t²≤8．
即$-2\sqrt{2}≤t≤2\sqrt{2}$．
∴a+b的取值范圍為$[{-2\sqrt{2}，2\sqrt{2}}]$．
故答案為：$[{-2\sqrt{2}，2\sqrt{2}}]$．

點評 本題給出關(guān)于正數(shù)a、b的等式，求a+b的最小值．考查了利用換元法和一元二次方程有實根求解參數(shù)范圍問題，考查數(shù)學(xué)轉(zhuǎn)化思想方法，屬于中檔題．