Question

3．動(dòng)直線y=k（x-$\sqrt{2}$）與曲線y=$\sqrt{1-{x^2}}$相交于A，B兩點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，當(dāng)△AOB的面積取得最大值時(shí)，k的值為$-\frac{{\sqrt{3}}}{3}$．

Answer 1

分析 由題意可得動(dòng)直線y=k（x-$\sqrt{2}$）過定點(diǎn)（$\sqrt{2}$，0），曲線y=$\sqrt{1-{x^2}}$表示單位圓x²+y²=1的上半圓，可得當(dāng)∠AOB=$\frac{π}{2}$時(shí)，S_△AOB面積最大，由點(diǎn)到直線的距離公式可得k的方程，解方程可得．

解答 解：由題意可得動(dòng)直線y=k（x-$\sqrt{2}$）過定點(diǎn)（$\sqrt{2}$，0），
曲線y=$\sqrt{1-{x^2}}$表示單位圓x²+y²=1的上半圓，
∵△AOB的面積S=$\frac{1}{2}$|OA||OB|sin∠AOB=$\frac{1}{2}$×1×1×sin∠AOB，
當(dāng)∠AOB=$\frac{π}{2}$時(shí)，S_△AOB面積最大．
此時(shí)O到AB的距離d=$\frac{\sqrt{2}}{2}$．
直線AB方程可化為即kx-y-$\sqrt{2}$k=0，k＜0
由距離公式可得$\frac{|-\sqrt{2}k|}{\sqrt{{k}^{2}+1}}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，解得k=$-\frac{{\sqrt{3}}}{3}$，
故答案為：$-\frac{{\sqrt{3}}}{3}$

點(diǎn)評(píng) 本題考查直線和圓的位置關(guān)系，涉及三角形的面積公式和數(shù)形結(jié)合的思想，屬中檔題．