Question

【題目】已知拋物線C：的焦點為F，M是拋物線C上位于第一象限內(nèi)的任意一點，O為坐標原點，記經(jīng)過M，F，O三點的圓的圓心為Q，且點Q到拋物線C的準線的距離為．

Ⅰ求點Q的縱坐標；可用p表示

Ⅱ求拋物線C的方程；

Ⅲ設(shè)直線l：與拋物線C有兩個不同的交點A，若點M的橫坐標為2，且的面積為，求直線l的方程．

Answer 1

【答案】（Ⅰ）（Ⅱ）（Ⅲ）

【解析】

Ⅰ根據(jù)焦點以及的外接圓的圓心為Q，即可求出；

Ⅱ由題意可得，解得，即可求出拋物線方程；

Ⅲ先判斷為直角三角形，再根據(jù)點到直線的距離公式，弦長公式和三角形的面積公式即可求出．

Ⅰ由題意，設(shè)，

因為焦點以及的外接圓的圓心為Q，

則線段的垂直平分線的方程為，所以點的縱坐標為.

（Ⅱ）由拋物線C的準線方程為，所以，解得，

所以拋物線C的方程．

Ⅲ可知，，，

為直角三角形，其外接圓圓心在MO的中點上，即Q的坐標為，

點Q到直線AB的距離，

設(shè)，，聯(lián)立方程組，消y可得，

，，

，

，即，

解得，即，

所以直線l的方程為