Question

【題目】在△ABC中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c．若sin（A﹣B）+sinC= sinA．
（1）求角B的值；
（2）若b=2，求a2+c2的最大值，并求取得最大值時角A，C的值．

Answer 1

【答案】
（1）解：在△ABC中，∵由已知及C=π﹣（A+B）可得：

sin（A﹣B）+sinC=sin（A﹣B）+sin（A+B）

=sinAcosB﹣cosAsinB+sinAcosB+cosAsinB

=2sinAcosB= sinA…3分

∵A是三角形的內(nèi)角，sinA≠0，

∴cosB=

∴由B∈（0，π），可得B=

（2）解：∵由余弦定理可得：a2+c2﹣ ac=4，且ac≤ ，

∴4=a2+c2﹣ ac≥（a2+c2）﹣ （a2+c2）=（1﹣ ）（a2+c2），

∴a2+c2≤ =8 （當(dāng)且僅當(dāng)a=c時，等號成立），

∴當(dāng)A=C= 時，a2+c2的最大值是8

【解析】（1）由已知及三角形內(nèi)角和定理，兩角和與差的正弦函數(shù)公式化簡可得2sinAcosB= sinA，由于sinA≠0，即可解得cosB的值，結(jié)合范圍B∈（0，π），即可求得B的值．（2）由余弦定理及基本不等式可得：a2+c2﹣ ac=4，且ac≤ ，從而可得4≥（1﹣ ）（a2+c2），即可解得a2+c2的最大值．
【考點(diǎn)精析】利用正弦定理的定義和余弦定理的定義對題目進(jìn)行判斷即可得到答案，需要熟知正弦定理:；余弦定理:;;．