Question

【題目】已知函數(shù)

（Ⅰ）如果曲線在點處的切線的斜率是，求的值；

（Ⅱ）當(dāng)，時，求證：；

（Ⅲ）若存在單調(diào)遞增區(qū)間，請直接寫出的取值范圍．

Answer 1

【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）見解析；（Ⅲ）

【解析】

（Ⅰ）由即可解出；（Ⅱ）對進行二次求導(dǎo)，通過二次求導(dǎo)所得導(dǎo)函數(shù)恒正，得到單調(diào)遞增；根據(jù)零點存在定理可知在上，存在零點；根據(jù)導(dǎo)函數(shù)符號得到單調(diào)性，從而確定最大值為，則結(jié)論可證；（III）將問題轉(zhuǎn)化為存在，使得，通過分離變量將問題轉(zhuǎn)化為與最值的比較；在時求的最小值；時求的最大值，由于最值點無法取得，結(jié)合洛必達法則求得極限值；從而可得的取值范圍.

（Ⅰ）由題意知：

則，即

（Ⅱ）當(dāng)時， img src="http://thumb.zyjl.cn/questionBank/Upload/2019/08/15/08/7528bcf4/SYS201908150803096317375479_DA/SYS201908150803096317375479_DA.019.png" width="125" height="23" style="-aw-left-pos:0pt; -aw-rel-hpos:column; -aw-rel-vpos:paragraph; -aw-top-pos:0pt; -aw-wrap-type:inline" />

令

因此恒成立

當(dāng)時，單調(diào)遞增

又，

存在唯一的，使得

列表如下：

			極小值

當(dāng)時，

當(dāng)，時，

（Ⅲ）由題意可知，存在，使得

當(dāng)時，，不合題意；

當(dāng)時，

令，則

當(dāng)時，，則單調(diào)遞減；時，，則單調(diào)遞增

可得時，函數(shù)取得極小值即最小值

當(dāng)時，

當(dāng)時，，則單調(diào)遞減.

又時，

.

綜上可得：