Question

【題目】已知圓經(jīng)過(guò)，兩點(diǎn)，且圓心在直線上.

(1)求圓的方程

(2)從原點(diǎn)向圓作切線，求切線方程及切線長(zhǎng).

Answer 1

【答案】(1) (或?qū)懗?/span>:)；(2)，.

【解析】

(1) 解法一: 設(shè)圓的方程為,將，兩點(diǎn)代入得: ,根據(jù)圓的一般方程的圓心為: ,代入,

聯(lián)立方程即可求出答案.

解法二:設(shè)根據(jù)題意,分析可得圓的圓心是線段的垂直平分線與直線的交點(diǎn),先求出線段的垂直平分線的方程,與直線聯(lián)立可得圓的圓心的坐標(biāo),在由兩點(diǎn)間距離公式: ,代入圓的標(biāo)準(zhǔn)方程: 即可得出答案.

(2) 解法一:過(guò)原點(diǎn)的直線中，當(dāng)斜率不存在時(shí)，不與圓相切，當(dāng)斜率存在時(shí)，可設(shè)直線方程為:,直線圓線切,聯(lián)立方程: 將其化為關(guān)于的一元二次方程,由題意可知此方程的,解得 ,即可求出切線方程及切線長(zhǎng).

解法二: 過(guò)原點(diǎn)的直線中，當(dāng)斜率不存在時(shí)，不與圓相切，當(dāng)斜率存在時(shí)，可設(shè)直線方程為:.因?yàn)橹本�與圓相切，故圓心到直線的距離等于半徑,根據(jù)點(diǎn)到直線的距離公式: 可求得圓的圓心到:的距離為1,可解得 ,即可求出切線方程及切線長(zhǎng).

(1)解法一:設(shè)圓的方程為

由題意: ①

②

又圓心在直線上

故 ， ③

由①②③解得:，，，

圓的方程為:(或?qū)懗?/span>:)，

解法二:由題意，圓心在的中垂線上，

又在已知直線上，

解得圓心坐標(biāo)為，

于是半徑

所求圓的方程為:;

(2)解法一:過(guò)原點(diǎn)的直線中，當(dāng)斜率不存在時(shí)，不與圓相切

當(dāng)斜率存在時(shí)，設(shè)直線方程為

代入得

即

令，

解得，

即切線方程為.

對(duì)應(yīng)切線長(zhǎng)為.

解法二:過(guò)原點(diǎn)的直線中，當(dāng)斜率不存在時(shí)，不與圓相切；

當(dāng)斜率存在時(shí)，設(shè)直線方程為，

因?yàn)橹本�與圓相切，故圓心到直線的距離等于半徑，

根據(jù)點(diǎn)到直線的距離公式:可得

解得.即切線方程為.

對(duì)應(yīng)切線長(zhǎng)為.

綜上所述: 切線方程為,切線長(zhǎng)為.