Question

【題目】已知數(shù)列中，，，的前項(xiàng)和為，且滿足（）.

（1）試求數(shù)列的通項(xiàng)公式；

（2）令，是的前項(xiàng)和，證明：；

（3）證明：對(duì)任意給定的，均存在，使得時(shí)，（2）中的恒成立.

Answer 1

【答案】（1）；（2）證明見解析；（3）證明見解析

【解析】

(1)由題意首先整理所給的遞推關(guān)系式，然后利用累加法即可求得數(shù)列的通項(xiàng)公式；

(2)結(jié)合(1)中的通項(xiàng)公式裂項(xiàng)求和求得數(shù)列的前項(xiàng)和即可證得題中的結(jié)論；

(3)首先求解不等式得到實(shí)數(shù)n的取值范圍，然后結(jié)合所得的結(jié)果給出的值即可.

（1）由題意知（n≥3），

即（n≥3），

，n≥3.

檢驗(yàn)知n=1，2時(shí)，結(jié)論也成立，

故.

（2） 由于bn===

故

，

所以，.

（3）若Tn＞m，其中m∈（0，），則有＞m，

則2n+1＞，

故，

取（其中[x]表示不超過x的最大整數(shù)），

則當(dāng)時(shí)，.