Question

16．在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知$\overrightarrow{a}$=（2，1），|$\overrightarrow$|=$\frac{\sqrt{5}}{2}$．
（1）若$\overrightarrow{a}$∥$\overrightarrow$，求$\overrightarrow$的坐標(biāo)；
（2）若$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow$與2$\overrightarrow{a}$-5$\overrightarrow$垂直，求$\overrightarrow{a}$與$\overrightarrow$的夾角θ的大�。�

Answer 1

分析 （Ⅰ）由$\overrightarrow{a}$的坐標(biāo)求出$|\overrightarrow{a}|$，可得|$\overrightarrow$|=$\frac{1}{2}$|$\overrightarrow{a}$|，結(jié)合$\overrightarrow∥\overrightarrow{a}$得$\overrightarrow=±\frac{1}{2}\overrightarrow{a}$，則$\overrightarrow$的坐標(biāo)可求；
（Ⅱ）由兩向量垂直得數(shù)量積為0，求出$\overrightarrow{a}•\overrightarrow=\frac{5}{4}$，再由數(shù)量積公式求$\overrightarrow{a}$、$\overrightarrow$的夾角．

解答 解：（Ⅰ）∵$\overrightarrow{a}=（2，1）$，∴$|\overrightarrow{a}|=\sqrt{5}$，
又|$\overrightarrow$|=$\frac{\sqrt{5}}{2}$，∴|$\overrightarrow$|=$\frac{1}{2}$|$\overrightarrow{a}$|，
∵$\overrightarrow∥\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow=±\frac{1}{2}\overrightarrow{a}$，則$\overrightarrow=（1，\frac{1}{2}）$或$\overrightarrow=（-1，-\frac{1}{2}）$；
（Ⅱ）∵$\overrightarrow{a}+\overrightarrow$與2$\overrightarrow{a}-5\overrightarrow$垂直，∴（$\overrightarrow{a}+\overrightarrow$）•（2$\overrightarrow{a}-5\overrightarrow$）=0，
∴$2|\overrightarrow{a}{|}^{2}-3\overrightarrow{a}•\overrightarrow-5|\overrightarrow{|}^{2}=0$，則$\overrightarrow{a}•\overrightarrow=\frac{5}{4}$，
∴cosθ=$\frac{\overrightarrow{a}•\overrightarrow}{|\overrightarrow{a}|•|\overrightarrow|}=\frac{1}{2}$，
∵θ∈[0，π]，∴θ=$\frac{π}{3}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查平面向量的數(shù)量積運(yùn)算，訓(xùn)練了利用數(shù)量積公式求兩向量的夾角，屬中檔題．