Question

20．已知平面向量$\overrightarrow{p}$=（mlnx+ln2e²，x），$\overrightarrow{q}$=（1，$\frac{x}{2}$-m-1），函數(shù)f（x）=$\overrightarrow{p}$•$\overrightarrow{q}$（其中e=2.71828…是自然對數(shù)的底數(shù)）．
（1）當(dāng)m=-1時，求函數(shù)f（x）在點P（2，f（2））處的切線方程；
（2）討論函數(shù)f（x）的極值情況．

Answer 1

分析 （1）求導(dǎo)數(shù)，確定切線的斜率，即可求函數(shù)f（x）在點P（2，f（2））處的切線方程；
（2）求導(dǎo)數(shù)，分類討論，利用導(dǎo)數(shù)的正負(fù)，即可討論函數(shù)f（x）的極值情況．

解答 解：（1）由題意，f（x）=mlnx-$\frac{1}{2}$x²-（m+1）x-ln2e²，
m=-1時，f（x）=-lnx-$\frac{1}{2}$x²-ln2e²，f′（x）=-$\frac{1}{x}$+x，
∴f（2）=4，f（2）=$\frac{3}{2}$，
∴切線方程為y-4=$\frac{3}{2}$（x-2），即3x-2y+2=0；
（2）由已知可得f′（x）=$\frac{m}{x}$+x-（m+1）（x＞0），即f′（x）=$\frac{（x-1）（x-m）}{x}$．
m＞1時，由f′（x）＞0可得函數(shù)f（x）的遞增區(qū)間為（0，1），（m，+∞）；由f′（x）＜0可得函數(shù)f（x）的遞增區(qū)間為（1，m），
故x=1處取得極大值f（1），且f（1）=$\frac{3}{2}$+ln2-m，x=m處取得極小值f（m），且f（m）=mlnm-$\frac{1}{2}$m²-（m+1）m-ln2e²，
∴m=1時，函數(shù)f（x）的遞增區(qū)間為（0，+∞），不存在極值；
0＜m＜1時，函數(shù)f（x）的遞增區(qū)間為（0，m），（1，+∞），遞減區(qū)間為（m，1），
故在x=m處取得極大值f（m），且f（m）=mlnm-$\frac{1}{2}$m²-（m+1）m-ln2e²，
x=1處取得極小值f（1），且f（1）=$\frac{3}{2}$+ln2-m，
m≤0時，函數(shù)f（x）的遞增區(qū)間為（1，+∞），遞減區(qū)間為（0，1），x=1處取得極小值f（1）=$\frac{3}{2}$+ln2-m，不存在極大值．

點評 本題考查導(dǎo)數(shù)知識的綜合運(yùn)用，考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義，考查函數(shù)的極值，考查分類討論的數(shù)學(xué)思想，屬于中檔題．