Question

【題目】已知?jiǎng)狱c(diǎn)是的頂點(diǎn)，，，直線，的斜率之積為.

（1）求點(diǎn)的軌跡的方程；

（2）設(shè)四邊形的頂點(diǎn)都在曲線上，且，直線，分別過(guò)點(diǎn)，，求四邊形的面積為時(shí)，直線的方程.

Answer 1

【答案】（1）（2）

【解析】

（1）先設(shè)點(diǎn)，根據(jù)題意得到，化簡(jiǎn)整理即可得出結(jié)果；

（2）先由題意可得，直線的斜率不為0，設(shè)直線的方程為，，，聯(lián)立直線與橢圓方程，根據(jù)韋達(dá)定理、弦長(zhǎng)公式以及點(diǎn)到直線的距離表示出，再由圖形的對(duì)稱性得到，結(jié)合題中條件，即可求出結(jié)果.

（1）設(shè)點(diǎn)，由已知，，

直線與的斜率之積為，

即，化簡(jiǎn)得.

所以動(dòng)點(diǎn)的軌跡的方程為.

（2）依題意，直線的斜率不為0，

設(shè)直線的方程為，，，

由，得，

則，，

所以 ，

又原點(diǎn)到直線的距離，

所以，

由圖形的對(duì)稱性可知，，

所以，

化簡(jiǎn)得，解得，即，

所以直線的方程為，即.