Question

【題目】記，其中為函數(shù)的導(dǎo)數(shù)若對(duì)于，，則稱(chēng)函數(shù)為D上的凸函數(shù)．

求證：函數(shù)是定義域上的凸函數(shù)；

已知函數(shù)，為上的凸函數(shù)．

求實(shí)數(shù)a的取值范圍；

求函數(shù)，的最小值．

Answer 1

【答案】（1）見(jiàn)解析；（2）；見(jiàn)解析

【解析】

求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，解關(guān)于導(dǎo)函數(shù)的不等式，求出導(dǎo)函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，從而判斷函數(shù)的凹凸性即可；

求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，問(wèn)題轉(zhuǎn)化為在上恒成立，求出a的范圍即可；令，，則，通過(guò)討論a的范圍，求出的最小值即可．

由，，

得，，

令，，則，

當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，

故在遞減，在遞增，

故，

故對(duì)于，，

函數(shù)是定義域上的凸函數(shù)；

由，，

得，，

函數(shù)是上的凸函數(shù)，

故在上恒成立，

故在上恒成立，

故，故，

故實(shí)數(shù)a的范圍是，

令，，

則，

，，，

當(dāng)時(shí)，在上恒成立，

故F，

故H，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，

；

當(dāng)時(shí)，在恒成立，

故F在遞增，

故F，

故H；

當(dāng)時(shí)，令，

存在零點(diǎn)，，

其中，，

，，

故，

結(jié)合的性質(zhì)有：時(shí)，，故F，

時(shí)，，故F，

故F在上遞減，在遞增，

故F，

由知，，

故，從而，

故F，

又的圖象是一條不間斷的曲線，

故F在上有零點(diǎn)，

故H的最小值是0，

綜上，當(dāng)時(shí)，的最小值是，

當(dāng)時(shí)，的最小值是0，

當(dāng)時(shí)，的最小值是．