Question

設A，B，C，D是平面直角坐標系中不同的四點，若

AC

=λ

AB

（λ∈R），

AD

=μ

AB

（μ∈R）且

1

λ

+

1

μ

=2，則稱C，D是關于A，B的“好點對”．已知M，N是關于A，B的“好點對”，則下面說法正確的是（　�。�

• A、M可能是線段AB的中點
• B、M，N可能同時在線段BA延長線上
• C、M，N可能同時在線段AB上
• D、M，N不可能同時在線段AB的延長線上

Answer 1

考點：向量加減混合運算及其幾何意義

專題：新定義

分析：根據(jù)向量共線定理得到A，B，C，D四點共線，再利用反證法求證，問題得以解決．

解答： 解：由題意知

AC

=λ

AB

（λ∈R），

AD

=μ

AB

（μ∈R）且

1

λ

+

1

μ

=2，
故A，B，C，D四點共線，
若M是線段AB的中點，

AC

=

1

2

AB

，∴λ=

1

2

，

1

μ

=0（不可能），故A錯誤，
若M，N可能同時在線段BA的延長線上，
則λ＜0．μ＜0，
∴

1

λ

+

1

μ

＜0與

1

λ

+

1

μ

=2矛盾．故B錯誤，
若M，N可能同時在線段AB上，
則0＜λ＜1，0＜μ＜1，
∴

1

λ

+

1

μ

＞2，與

1

λ

+

1

μ

=2矛盾．故C錯誤
若M，N不可能同時在線段AB的延長線上，
假設M，N同時在線段AB的延長線上，
則λ＞1．μ＞1，
∴

1

λ

+

1

μ

＜2，與

1

λ

+

1

μ

=2矛盾．故假設不成立，所以M，N不可能同時在線段AB的延長線上．
故D正確．
故選：D．

點評：本題主要考查了向量共線定理和反證法，屬于基礎題．