Question

5．在平面直角坐標(biāo)系xoy中，直線l的參數(shù)方程為$\left\{\begin{array}{l}{x=1-\frac{\sqrt{3}}{2}t}\\{y=\frac{1}{2}t}\end{array}\right.$（t為參數(shù)），在以原點O為極點，x軸正半軸為極軸的極坐標(biāo)系中，圓C的方程為ρ=2$\sqrt{3}$sinθ．
（1）寫出直線l的普通方程和圓C的直角坐標(biāo)方程；
（2）若點P的直角坐標(biāo)為（1，0），圓C與直線l交于A、B兩點，求|PA|+|PB|的值．

Answer 1

分析 （1）直線l的參數(shù)方程消去參數(shù)t，能求出直線l的普通方程，圓C的方程轉(zhuǎn)化為${ρ}^{2}=2\sqrt{3}ρsinθ$，由此能求出圓C的直角坐標(biāo)方程．
（2）將l的參數(shù)方程代入圓C的直角坐標(biāo)方程化簡整理得：${t}^{2}-2\sqrt{3}t+1=0$，由t的幾何意義能求出|PA|+|PB|的值．

解答 解：（1）直線l的參數(shù)方程為$\left\{\begin{array}{l}{x=1-\frac{\sqrt{3}}{2}t}\\{y=\frac{1}{2}t}\end{array}\right.，（t為參數(shù)）$，
消去參數(shù)t，得：x+$\sqrt{3}y$-1=0，
圓C的方程為$ρ=2\sqrt{3}sinθ$，即${ρ}^{2}=2\sqrt{3}ρsinθ$，即${x}^{2}+{y}^{2}=2\sqrt{3}y$，
即${x}^{2}+（y-\sqrt{3}）^{2}=3$為圓C的直角坐標(biāo)方程．
（2）將l的參數(shù)方程$\left\{\begin{array}{l}{x=1-\frac{\sqrt{3}}{2}t}\\{y=\frac{1}{2}t}\end{array}\right.，（t為參數(shù)）$代入圓C的直角坐標(biāo)方程化簡整理得：
${t}^{2}-2\sqrt{3}t+1=0$，由t的幾何意義得：
|PA|+|PB|=t₁+t₂=2$\sqrt{3}$．

點評 本題考查曲線的直線坐標(biāo)方程、直線的普通方程的求法，考查兩線段的之和的求法，是中檔題，解題時要認真審題，注意極坐標(biāo)、直線坐標(biāo)互化公式的合理運用．