Question

10．在四棱錐A-BCDE中，AB⊥平面BCDE，底面BCDE是正方形且AB=CD，點(diǎn)G，F(xiàn)分別是AD和CD的中點(diǎn)．求：
（1）異面直線(xiàn)GF和AE所成角的大��；
（2）在平面ABC內(nèi)，是否存在一點(diǎn)H，使得HG⊥平面ADE？若存在，請(qǐng)指出該點(diǎn)的位置，若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

分析 （1）以B為原點(diǎn)，BC為x軸，BE為y軸，BA為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法能求出異面直線(xiàn)GF和AE所成角的大�。�
（2）設(shè)在平面ABC內(nèi)，存在一點(diǎn)H（a，0，c），使得HG⊥平面ADE，利用向量法能求出H（1，0，0），H為BC中點(diǎn)時(shí)，HG⊥平面ADE．

解答 解：（1）以B為原點(diǎn)，BC為x軸，BE為y軸，BA為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，
設(shè)AB=CD=2，則F（2，1，0），A（0，0，2），D（2，2，0），G（1，1，1），E（0，2，0），
$\overrightarrow{GF}$=（1，0，-1），$\overrightarrow{AE}$=（0，2，-2），
設(shè)異面直線(xiàn)GF和AE所成角為θ，
則cosθ=$\frac{|\overrightarrow{GF}•\overrightarrow{AE}|}{|\overrightarrow{GF}|•|\overrightarrow{AE}|}$=$\frac{|2|}{\sqrt{2}×\sqrt{8}}$=$\frac{1}{2}$，
∴θ=60°，
∴異面直線(xiàn)GF和AE所成角的大小為60°．
（2）設(shè)在平面ABC內(nèi)，存在一點(diǎn)H（a，0，c），使得HG⊥平面ADE，
∵$\overrightarrow{HG}$=（1-a，1，1-c），$\overrightarrow{AD}$=（2，2，-2），$\overrightarrow{AE}$=（0，2，-2），
∴$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{HG}•\overrightarrow{AD}=2（1-a）+2-2（1-c）=0}\\{\overrightarrow{HG}•\overrightarrow{AE}=2-2（1-c）=0}\end{array}\right.$，解得a=1，c=0，
∴H（1，0，0），H為BC中點(diǎn)時(shí)，HG⊥平面ADE．

點(diǎn)評(píng) 本題考查異面直線(xiàn)所成角的大小的求法，考查線(xiàn)面垂直的證明，是中檔題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意向量法的合理運(yùn)用．