Question

【題目】已知函數(shù)，．

（Ⅰ）若在上是增函數(shù)，求實(shí)數(shù)的取值范圍；

（Ⅱ）討論函數(shù)的極值，并說(shuō)明理由；

（Ⅲ）若有兩個(gè)極值點(diǎn)，，求證：函數(shù)有三個(gè)零點(diǎn)．

Answer 1

【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）當(dāng)時(shí)，無(wú)極值；當(dāng)時(shí)，存在一個(gè)極大值和一個(gè)極小值；（Ⅲ）見(jiàn)解析

【解析】

（Ⅰ）利用得；利用導(dǎo)數(shù)求得的最小值，則；（Ⅱ）由（Ⅰ）知，函數(shù)單調(diào)遞增，無(wú)極值；當(dāng)，可證得有兩根，即有兩根，從而可得函數(shù)的單調(diào)性，進(jìn)而確定有一個(gè)極大值和一個(gè)極小值；（Ⅲ）由（Ⅱ）知且；利用和表示，代入函數(shù)中，可表示出和；根據(jù)和設(shè)，通過(guò)導(dǎo)數(shù)可驗(yàn)證出單調(diào)遞減，進(jìn)而求得，，結(jié)合圖象可證得結(jié)論.

（Ⅰ）由得：

在上是增函數(shù) 在上恒成立

即：在上恒成立

設(shè)，則

當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，

即在上單調(diào)遞減；在上單調(diào)遞增

即的取值范圍為：

（Ⅱ）由（Ⅰ）知：當(dāng)時(shí)，在上是增函數(shù)，此時(shí)無(wú)極值；

當(dāng)時(shí)，令，即

時(shí)，；；時(shí)，

有兩個(gè)根，設(shè)兩根為，且

可知：和時(shí)，；時(shí)，

即在，上單調(diào)遞增；在上單調(diào)遞減

在處取得極大值；在處取得極小值

綜上所述：當(dāng)時(shí)，無(wú)極值；當(dāng)時(shí)，存在一個(gè)極大值和一個(gè)極小值

（Ⅲ）由（Ⅱ）知，有兩個(gè)極值點(diǎn)，，則，且

；

又

令，則

則在上恒成立，即在上單調(diào)遞減

又 時(shí)，；時(shí)，

，

當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，

可得大致圖象如下：

有三個(gè)零點(diǎn)