Question

證明A(2，2)、B(5，3)、C(3，－1)、D(6，0)四點(diǎn)共圓，并求出此圓的圓心和半徑．

Answer 1

答案：
解析：

證法一：設(shè)所共圓的方程為x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0．將A、B、D三點(diǎn)坐標(biāo)代入得 　　 　　故過A、B、D三點(diǎn)的圓的方程為x2＋y2－8x－2y＋12＝0． 　　把點(diǎn)C(3，－1)代入方程的左邊＝9＋1－24＋2＋12＝0． 　　∴點(diǎn)C在該圓上． 　　∵＝4，＝1， 　　∴圓心為(4，1)，r＝． 　　綜上，可得四點(diǎn)共圓于其圓心為(4，1)，半徑為，方程為x2＋y2－8x－2y＋12＝0的圓． 　　證法二：∵AB邊的中點(diǎn)為()，斜率為kAB＝． 　　∴AB邊的垂直平分線的方程為y－＝－3(x－)，即3x＋y－13＝0．① 　　∵BC的中點(diǎn)為(4，1)，kBC＝， 　　∴BC邊的垂直平分線的方程為y－1＝－(x－4)，即x＋2y－6＝0．② 　　解①②組成的方程組得 　　∴圓心為(4，1)，半徑r＝．∴所求圓的方程為(x－4)2＋(y－1)2＝5． 　　思路分析：首先由不共線三點(diǎn)確定一個圓，然后再證第四個點(diǎn)在圓上，用待定系數(shù)法求解．

提示：

圓的標(biāo)準(zhǔn)方程中有三個未知量a、b、r；圓的一般方程有三個未知量D、E、F．故確定一個圓需要三個獨(dú)立的條件，一般利用待定系數(shù)法確定．這需要把題目中的已知條件一一轉(zhuǎn)化為關(guān)于未知量的方程，利用方程組獲得a、b、r或D、E、F的值，進(jìn)而確定圓的方程．其基本步驟為：(1)根據(jù)題意，設(shè)所求的圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為(x－a)2＋(y－b)2＝r2或設(shè)圓的一般方程為x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0；(2)根據(jù)已知條件，建立關(guān)于a、b、r或D、E、F的方程組；(3)解方程組，求出a、b、r或D、E、F的值，并把它們代入所設(shè)的方程中去，就得到所求圓的方程．不過有時利用圓的幾何性質(zhì)，會有更簡捷的解題途徑．